求“全部整数解”时，找到一组答案只是开始。差平方分解使问题转为两个整数因子的分类，既能算出答案，也能证明没有遗漏。
本文围绕整数方程提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
求所有整数解x²−y²=45，并说明为何解的数量有限。
二、关键推导：为什么能得到这个答案
分解为(x−y)(x+y)=45。因为45为正奇数，可从整数因子对(1,45)、(3,15)、(5,9)及相应负因子对构造。
三、用第二种角度核验
用(9,6)检验81−36=45；要求x与y均为整数时两个因子必须同奇偶，45的奇因子对都满足。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
把因子u=x−y、v=x+y，则uv=45，x=(u+v)/2，y=(v−u)/2。所有因子均为奇数，所以x、y自动为整数；正、负因子对需一起枚举。
五、容易出错的条件与边界
只列正数x,y会漏掉零或负号可能性；如果要求“所有整数解”，必须说明因子对与符号的覆盖范围。
不要只写x>0、y>0的三组；题目没有限制正负。整除因子有序交换会改变y的符号。
六、变式练习与明确答案
把常数换成36时，因子对同奇偶才可转为整数x,y，得到(±10,±8)和(±6,0)，共6组。
可由(23,±22)、(9,±6)、(7,±2)再对x取负得到全部12组整数解。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“整数方程”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇整数方程练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
