不变量是一种“不管走法多复杂都能追踪”的量。本题并不需要计算每一步的距离；只要观察格点坐标和x+y的奇偶性，便能一口气排除所有奇数步回原点的可能。
本文围绕奇偶不变量提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
在棋盘上放一枚棋子，每次允许横向或纵向移动一格。证明从(0,0)走奇数步不可能回到(0,0)。
二、关键推导：为什么能得到这个答案
定义不变量的替代方法是对格点染黑白棋盘色：坐标和x+y的奇偶性每移动一步都会翻转。原点是偶色，走奇数步处在奇色，故无法回到原点。
三、用第二种角度核验
若走2步，如先右后左，可以返回原点，说明结论只排除奇数步，未排除所有正步数。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
关键条件检验：横移一格只改变x的奇偶性，纵移一格只改变y的奇偶性，所以x+y每步必变奇偶。若允许斜走(1,1)，x+y一次加2，证明立即失效。
五、容易出错的条件与边界
不能说“距离每步必增加1”，因为折返可以减小距离；应追踪每步的奇偶翻转；若以t表示步数，x+y−t的奇偶性保持不变。
证明“奇数步不可能回到原点”不等于证明“偶数步一定回到原点”。必要条件与充分条件不能混淆。
六、变式练习与明确答案
若增加斜向一步(1,1)，原奇偶不变量不再每步翻转，需要重新检查允许操作。
只能在偶数步数后回到原点，且不是每个偶数步走法都会回到原点。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“奇偶不变量”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇奇偶不变量练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
