作者： moliu

2026—2027赛季BMO Round 1中国区报名截止为2026年11月9日，考试安排在11月19日17:00—20:30。进入11月，尚未确认报名的学生，应先处理考点和参赛信息；已经完成报名的学生，则可以把训练重点从“见过多少题”转向“能否写出完整证明”。

这两个任务不能互相替代。参加了培训不等于已经获得考位，做出一个数值答案也不等于证明题已经完成。下面把报名核验与临考训练分开安排，便于家长和学生逐项落实。

一、11月9日前先完成报名核验

中国区当季承办页面列明Round 1为线下考点考试。报名时要核对学生姓名、就读年级、学籍条件、具体考点和正式报名记录；英国学籍学生不应直接套用中国区受理安排。截止日期没有明确到具体时刻时，不自行补写“23:59”，也不把最后一天当成处理所有问题的缓冲日。

二、证明题训练应从哪类问题开始

BMO需要呈现推理过程。建议先用一份历年试卷做诊断，不急着按分数下结论，而是记录每题能否独立建立条件、找到关键关系、写清结论。如果计算很快却总无法解释“为什么”，应把更多时间放在论证衔接，而非继续堆同类型计算题。

训练时选取数论、代数、几何或组合中最有把握的一类，完整写出一题。写完后用另一种颜色标出每次引入新结论的位置，检查是否给出了依据。图形看起来成立、试算了几个例子、用软件得到答案，都不能替代证明。

三、临考两周可以这样分配

以下是学习建议，不是官方训练计划。校内任务较多的学生可以减少每日题量，但尽量保留“独立尝试—对照解析—重写证明”三个环节。相比一次看完很多答案，隔天能重新写出关键步骤更能反映真实掌握程度。

四、完整证明最容易漏掉什么

第一是讨论范围。题目要求整数、正数或几何构型时，要明确所用结论满足哪些前提。第二是必要与充分的区别：找到一个可能答案后，还要验证它确实满足原条件。第三是分类是否覆盖全部情况，不能因为一个例子成立，就认为其他情况自然成立。

可以请同学阅读自己的证明，并要求对方指出“第一次看不懂的那一步”。如果必须靠口头补充才能理解，就把缺失内容补回纸面。这里的互相检查应在备赛练习中进行，正式考试必须独立完成。

需要报名核验，可查看本站BMO报名页；需要挑选证明题，可进入历年真题页，先做诊断再决定训练方向。沟通时建议带上年级、学籍情况和一份独立作答记录，便于判断是先补基础、练证明还是直接安排整卷模拟，不以报名或上课承诺成绩。

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BMO英国数学奥林匹克备赛中，围绕「基本不等式」的学习不应停在概念记忆。下面使用自编教学情境，依次说明需要识别的条件、得出结论的依据、可独立复核的环节和易错边界；它不是官方真题，也不代表当届考务安排。

奥数训练应同时写出答案和理由：为何不存在遗漏、哪些条件不能删除、怎样核验边界。

01｜自编练习：把题意与边界看清

正数x、y满足2x+y=18，求xy最大值与取等点。

解题前请先标注这一题的主题是「基本不等式」，把对象、数量、假设和要回答的目标各写成一句话。下文所用数值与背景均为教学演示，不是BMO英国数学奥林匹克的官方试题或成绩、考务数据。

02｜完整推导：先有依据，再有结果

由(2x+y)²≥4(2x)y=8xy，得xy≤18²/8=40.5。等号要求2x=y，与约束联立得2x+2x=18，x=4.5、y=9，乘积为40.5。

03｜独立验算：为什么这一步成立

换元y=18−2x，则xy=18x−2x²=40.5−2(x−4.5)²，证明同一最大值并定位顶点。

核对不只检验一个例子，还要解释推导覆盖了哪些可能性，并写清等号与边界情况。

04｜常见误区：哪些条件不能省

权重不相等时不能机械使用x=y；证明上界之后仍须核验取等条件可实现。

05｜改动条件后的变式练习

若约束变为3x+y=24，最大xy=24²/(4×3)=48，在x=4、y=12取到。

06｜四步复盘与训练清单

复盘环节	必须做的事
第1次：读题	从题设中提取整数、正负、区间与互异等限制；对应本篇主题「基本不等式」。
第2次：重做	独立重做本篇例题，写明每一步所用条件。
第3次：核对	用上文的独立验算核对单位、结果和边界，不以答案相同代替推导。
第4次：迁移	练一道改动条件的变式并解释为何原结论改变；完成上文给出的变式。

复盘记录建议包含：题目中最重要的限定条件、所采用的公式或证据、一个可独立核对的结果，以及本次是否发生了「基本不等式」相关的概念混淆。真正的训练目标是下一次遇到相近但不完全相同的题目时，仍能说明每一步为什么成立。

07｜适用范围和相关信息核对

本篇只讨论「基本不等式」的自编学习案例；并不声称其难度、题型或知识点覆盖了BMO英国数学奥林匹克全部考试范围。涉及2027年报名资格、时间、可用器材、考试安排或奖项标准时，务必以当届官方公布文件为准。

本站备赛资料入口：本站BMO历年真题与备赛资料。此入口不用于为本文的自编数值背书。

BMO英国数学奥林匹克备赛中，围绕「无放回概率」的学习不应停在概念记忆。下面使用自编教学情境，依次说明需要识别的条件、得出结论的依据、可独立复核的环节和易错边界；它不是官方真题，也不代表当届考务安排。

奥数训练应同时写出答案和理由：为何不存在遗漏、哪些条件不能删除、怎样核验边界。

01｜自编练习：把题意与边界看清

袋中有5个红球、4个蓝球，不放回抽两球，恰好一红一蓝概率是多少？

解题前请先标注这一题的主题是「无放回概率」，把对象、数量、假设和要回答的目标各写成一句话。下文所用数值与背景均为教学演示，不是BMO英国数学奥林匹克的官方试题或成绩、考务数据。

02｜完整推导：先有依据，再有结果

两次顺序可能是红后蓝或蓝后红。概率=(5/9)(4/8)+(4/9)(5/8)=40/72=5/9。

也可用组合：有利组合C(5,1)C(4,1)=20，总抽法C(9,2)=36，概率20/36=5/9。

03｜独立验算：为什么这一步成立

两种独立计算路径都得5/9；结果在0与1之间，符合概率范围。

核对不只检验一个例子，还要解释推导覆盖了哪些可能性，并写清等号与边界情况。

04｜常见误区：哪些条件不能省

不放回第二次分母应为8，不是9；若按“恰好一红一蓝”计数，记得两个抽取顺序。

05｜改动条件后的变式练习

若有放回，概率改为2×(5/9)(4/9)=40/81，与5/9不同。

06｜四步复盘与训练清单

复盘环节	必须做的事
第1次：读题	从题设中提取整数、正负、区间与互异等限制；对应本篇主题「无放回概率」。
第2次：重做	独立重做本篇例题，写明每一步所用条件。
第3次：核对	用上文的独立验算核对单位、结果和边界，不以答案相同代替推导。
第4次：迁移	练一道改动条件的变式并解释为何原结论改变；完成上文给出的变式。

复盘记录建议包含：题目中最重要的限定条件、所采用的公式或证据、一个可独立核对的结果，以及本次是否发生了「无放回概率」相关的概念混淆。真正的训练目标是下一次遇到相近但不完全相同的题目时，仍能说明每一步为什么成立。

07｜适用范围和相关信息核对

本篇只讨论「无放回概率」的自编学习案例；并不声称其难度、题型或知识点覆盖了BMO英国数学奥林匹克全部考试范围。涉及2027年报名资格、时间、可用器材、考试安排或奖项标准时，务必以当届官方公布文件为准。

本站备赛资料入口：本站BMO历年真题与备赛资料。此入口不用于为本文的自编数值背书。

圆心到弦的垂线平分弦。这条性质把圆内的长度问题变成一个直角三角形，半径是斜边，半弦和弦心距是两条直角边。

本文围绕圆与弦提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

圆半径为10，弦长为16，圆心到弦的垂直距离是多少？

二、关键推导：为什么能得到这个答案

从圆心向弦作垂线，垂足平分弦，两半弦各长8。由直角三角形得d²+8²=10²，所以d=√(100−64)=6。

三、用第二种角度核验

反向用半弦长√(10²−6²)=8，整弦16，与原题一致。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

规律推导：固定半径r时，弦长l=2√(r²−d²)；d越大，l越短。只有0≤d≤r，根号内才非负。

五、容易出错的条件与边界

不能把整条弦16直接与半径10作为同一直角三角形两边，否则出现负根号；必须先取半弦。

一定先把整条弦16除以2，别直接把16和半径10塞进勾股定理。

六、变式练习与明确答案

同一圆中弦长12对应d=√(100−6²)=8，更短的弦离圆心更远。

半径10、弦长16时弦心距6；若弦长12，则弦心距8。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“圆与弦”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇圆与弦练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。

求“全部整数解”时，找到一组答案只是开始。差平方分解使问题转为两个整数因子的分类，既能算出答案，也能证明没有遗漏。

本文围绕整数方程提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

求所有整数解x²−y²=45，并说明为何解的数量有限。

二、关键推导：为什么能得到这个答案

分解为(x−y)(x+y)=45。因为45为正奇数，可从整数因子对(1,45)、(3,15)、(5,9)及相应负因子对构造。

三、用第二种角度核验

用(9,6)检验81−36=45；要求x与y均为整数时两个因子必须同奇偶，45的奇因子对都满足。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

把因子u=x−y、v=x+y，则uv=45，x=(u+v)/2，y=(v−u)/2。所有因子均为奇数，所以x、y自动为整数；正、负因子对需一起枚举。

五、容易出错的条件与边界

只列正数x,y会漏掉零或负号可能性；如果要求“所有整数解”，必须说明因子对与符号的覆盖范围。

不要只写x>0、y>0的三组；题目没有限制正负。整除因子有序交换会改变y的符号。

六、变式练习与明确答案

把常数换成36时，因子对同奇偶才可转为整数x,y，得到(±10,±8)和(±6,0)，共6组。

可由(23,±22)、(9,±6)、(7,±2)再对x取负得到全部12组整数解。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“整数方程”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇整数方程练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。

不变量是一种“不管走法多复杂都能追踪”的量。本题并不需要计算每一步的距离；只要观察格点坐标和x+y的奇偶性，便能一口气排除所有奇数步回原点的可能。

本文围绕奇偶不变量提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

在棋盘上放一枚棋子，每次允许横向或纵向移动一格。证明从(0,0)走奇数步不可能回到(0,0)。

二、关键推导：为什么能得到这个答案

定义不变量的替代方法是对格点染黑白棋盘色：坐标和x+y的奇偶性每移动一步都会翻转。原点是偶色，走奇数步处在奇色，故无法回到原点。

三、用第二种角度核验

若走2步，如先右后左，可以返回原点，说明结论只排除奇数步，未排除所有正步数。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

关键条件检验：横移一格只改变x的奇偶性，纵移一格只改变y的奇偶性，所以x+y每步必变奇偶。若允许斜走(1,1)，x+y一次加2，证明立即失效。

五、容易出错的条件与边界

不能说“距离每步必增加1”，因为折返可以减小距离；应追踪每步的奇偶翻转；若以t表示步数，x+y−t的奇偶性保持不变。

证明“奇数步不可能回到原点”不等于证明“偶数步一定回到原点”。必要条件与充分条件不能混淆。

六、变式练习与明确答案

若增加斜向一步(1,1)，原奇偶不变量不再每步翻转，需要重新检查允许操作。

只能在偶数步数后回到原点，且不是每个偶数步走法都会回到原点。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“奇偶不变量”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇奇偶不变量练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。

数字构造题要先“选数字集合”，再“排位置”。这里数字和为6且互不相同，能够选的三元组有限；先把集合分类，会比从100试到999节省大量时间。

本文围绕数字构造提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

一个三位正整数，三个数字互不相同、百位非零，且三位数字之和为6。求符合条件的个数。

二、关键推导：为什么能得到这个答案

先枚举互异非负数字三元组且和为6：{0,1,5}、{0,2,4}、{1,2,3}，另外{0,3,3}和{2,2,2}因重复不合要求。含0的每组全排列6种但百位为0的排列2种，故各4个；{1,2,3}有6个，总数4+4+6=14。

三、用第二种角度核验

可列出含0的两组例子及123类的6个排列，核对每组百位都非0、没有重复数字且数字和为6。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

独立枚举核对：{0,1,5}产生105、150、501、510；{0,2,4}产生204、240、402、420；{1,2,3}有6种排列，合计14种。

五、容易出错的条件与边界

不能只列数字集合后直接乘6，因为含0组合有前导零限制；另外还需验证三位数而不是两位数。

百位不能是0。将含0的数字组直接乘3!会把015、024这类两位有效数误算进去。

六、变式练习与明确答案

若允许数字重复，数目将增加，按百位1至6分类，剩余两位数字和依次为5至0，分别有6、5、4、3、2、1种，总计21个。

符合条件的三位整数14个。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“数字构造”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇数字构造练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。

遇到a(n+1)=3a(n)+1这类“乘一个数再加常数”的递推，可先找固定点。解L=3L+1得L=−1/2，再考察a(n)−L，非齐次递推就转化成等比数列。

本文围绕递推数列提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

设数列a₁=2、aₙ₊₁=3aₙ+1，求a₄及通项。

二、关键推导：为什么能得到这个答案

依次a₂=3×2+1=7、a₃=3×7+1=22、a₄=3×22+1=67。设bₙ=aₙ+1/2，则bₙ₊₁=3bₙ，因此bₙ=(5/2)3ⁿ⁻¹，aₙ=(5×3ⁿ⁻¹−1)/2。

三、用第二种角度核验

代n=1得(5−1)/2=2；代n=4得(5×27−1)/2=67；通项符合初值与递推。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

拓展：对a(n+1)=ra(n)+c且r≠1，可令L=c/(1−r)，得到a(n)=L+(a1−L)r^(n−1)。使用前要先核对起始项。

五、容易出错的条件与边界

把非齐次项+1直接忽略而写成2×3ⁿ⁻¹会在第二项起出错；通项还须核对起始下标。

不能把“+1”从递推中直接忽略；把a1带回通项，是防止指数下标错位最省时的检查。

六、变式练习与明确答案

若递推改为aₙ₊₁=2aₙ+2、a₁=1，可令bₙ=aₙ+2，得到bₙ₊₁=2bₙ、b₁=3，因此aₙ=3×2ⁿ⁻¹−2。

本题a(n)=(5×3^(n−1)−1)/2；a4=67。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“递推数列”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇递推数列练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。

包含重复元素的排列不能把每张标签都当成不同对象。AABB C与交换两个A后的排列肉眼看完全相同，所以必须把重复标记造成的重复计数除掉。

本文围绕排列与重复提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

从字母A、A、B、B、C组成长度5的不同排列有多少个？

二、关键推导：为什么能得到这个答案

如果把所有5个字母都当作不同个体会算5!=120，但两个A互换不产生新排列、两个B互换也不产生新排列，所以不同排列数=5!/(2!×2!)=120/4=30。

三、用第二种角度核验

固定C位置有5种选法，剩下四个位置排列AABB有4!/(2!2!)=6种，5×6=30，与公式一致。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

再问一步：如果要求C必须在中间，那么剩余四个位置排列AABB只有4!/(2!2!)=6种；这比先算30再随意除以5更能看出约束条件。

五、容易出错的条件与边界

重复元素计数不能简单使用5!；同时也不能把相同字母的两种交换都作为不同安排。

何时才能除以2!？只有被交换对象确实相同，而且每种结果被重复计算的次数固定时才行。

六、变式练习与明确答案

如果再加入一个C，AABBCC的不同排列数=6!/(2!2!2!)=90。

AABBC共有30种不同排列；C在正中间时只有6种。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“排列与重复”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇排列与重复练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。

“求斜边上的高”与“证明三角形相似”并非同一任务。此题最直接的工具是面积的两种表达式：同一个三角形换底时，面积必须保持不变。

本文围绕面积法提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。

一、题目与解题目标

直角三角形两直角边为9和12，斜边15。斜边上的高是多少？

二、关键推导：为什么能得到这个答案

以两直角边作底高，面积A=9×12/2=54；改以斜边15为底，面积又为15h/2。两式相等得h=108/15=7.2。

三、用第二种角度核验

反算15×7.2/2=54，与原面积一致；9²+12²=15²也验证给定的直角关系。

四、深入一层：从本题抽出通用方法

延伸观察：对于直角边a、b，斜边c=√(a²+b²)，斜边高恒为h=ab/c。无论边长按什么倍数放大，h都会按相同倍数放大。

五、容易出错的条件与边界

把斜边高误看为某条直角边，或把斜边15误当面积底高同时出现，会造成几何关系错位。

“斜边高”垂直于斜边，不能把直角边9或12当作它。若画图不便，可优先标出两个面积公式。

六、变式练习与明确答案

若两直角边为5、12，斜边13，高=5×12/13=60/13。

9、12、15直角三角形的斜边高是7.2。换成5、12、13时，斜边高为60/13。

七、学习时如何使用这道例题

建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“面积法”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。

这篇面积法练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。