遇到a(n+1)=3a(n)+1这类“乘一个数再加常数”的递推，可先找固定点。解L=3L+1得L=−1/2，再考察a(n)−L，非齐次递推就转化成等比数列。
本文围绕递推数列提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
设数列a₁=2、aₙ₊₁=3aₙ+1，求a₄及通项。
二、关键推导：为什么能得到这个答案
依次a₂=3×2+1=7、a₃=3×7+1=22、a₄=3×22+1=67。设bₙ=aₙ+1/2，则bₙ₊₁=3bₙ，因此bₙ=(5/2)3ⁿ⁻¹，aₙ=(5×3ⁿ⁻¹−1)/2。
三、用第二种角度核验
代n=1得(5−1)/2=2；代n=4得(5×27−1)/2=67；通项符合初值与递推。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
拓展：对a(n+1)=ra(n)+c且r≠1，可令L=c/(1−r)，得到a(n)=L+(a1−L)r^(n−1)。使用前要先核对起始项。
五、容易出错的条件与边界
把非齐次项+1直接忽略而写成2×3ⁿ⁻¹会在第二项起出错；通项还须核对起始下标。
不能把“+1”从递推中直接忽略；把a1带回通项，是防止指数下标错位最省时的检查。
六、变式练习与明确答案
若递推改为aₙ₊₁=2aₙ+2、a₁=1，可令bₙ=aₙ+2，得到bₙ₊₁=2bₙ、b₁=3，因此aₙ=3×2ⁿ⁻¹−2。
本题a(n)=(5×3^(n−1)−1)/2；a4=67。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“递推数列”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇递推数列练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
