包含重复元素的排列不能把每张标签都当成不同对象。AABB C与交换两个A后的排列肉眼看完全相同，所以必须把重复标记造成的重复计数除掉。
本文围绕排列与重复提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
从字母A、A、B、B、C组成长度5的不同排列有多少个？
二、关键推导：为什么能得到这个答案
如果把所有5个字母都当作不同个体会算5!=120，但两个A互换不产生新排列、两个B互换也不产生新排列，所以不同排列数=5!/(2!×2!)=120/4=30。
三、用第二种角度核验
固定C位置有5种选法，剩下四个位置排列AABB有4!/(2!2!)=6种，5×6=30，与公式一致。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
再问一步：如果要求C必须在中间，那么剩余四个位置排列AABB只有4!/(2!2!)=6种；这比先算30再随意除以5更能看出约束条件。
五、容易出错的条件与边界
重复元素计数不能简单使用5!；同时也不能把相同字母的两种交换都作为不同安排。
何时才能除以2!？只有被交换对象确实相同，而且每种结果被重复计算的次数固定时才行。
六、变式练习与明确答案
如果再加入一个C，AABBCC的不同排列数=6!/(2!2!2!)=90。
AABBC共有30种不同排列；C在正中间时只有6种。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“排列与重复”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇排列与重复练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
