“求斜边上的高”与“证明三角形相似”并非同一任务。此题最直接的工具是面积的两种表达式：同一个三角形换底时，面积必须保持不变。
本文围绕面积法提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
直角三角形两直角边为9和12，斜边15。斜边上的高是多少？
二、关键推导：为什么能得到这个答案
以两直角边作底高，面积A=9×12/2=54；改以斜边15为底，面积又为15h/2。两式相等得h=108/15=7.2。
三、用第二种角度核验
反算15×7.2/2=54，与原面积一致；9²+12²=15²也验证给定的直角关系。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
延伸观察：对于直角边a、b，斜边c=√(a²+b²)，斜边高恒为h=ab/c。无论边长按什么倍数放大，h都会按相同倍数放大。
五、容易出错的条件与边界
把斜边高误看为某条直角边，或把斜边15误当面积底高同时出现，会造成几何关系错位。
“斜边高”垂直于斜边，不能把直角边9或12当作它。若画图不便，可优先标出两个面积公式。
六、变式练习与明确答案
若两直角边为5、12，斜边13，高=5×12/13=60/13。
9、12、15直角三角形的斜边高是7.2。换成5、12、13时，斜边高为60/13。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“面积法”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇面积法练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
