若题目只问根的对称式，通常不必先写出两个根。把a+b和ab当成两个已知量，平方和、立方和就成为代数恒等式的直接代入题。
本文围绕韦达定理提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
已知a、b是x²−9x+14=0两根，不先求根怎样求a²+b²及a³+b³？
二、关键推导：为什么能得到这个答案
韦达给出a+b=9、ab=14。平方和=(a+b)²−2ab=81−28=53；立方和=(a+b)³−3ab(a+b)=729−378=351。
三、用第二种角度核验
方程实际分解为(x−2)(x−7)，所以a²+b²=4+49=53，a³+b³=8+343=351，两种路径一致。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
进一步练习：同一方程的两根满足(a-b)²=(a+b)²-4ab=81-56=25，所以|a-b|=5。此处不必指定a、b先后次序。
五、容易出错的条件与边界
负的一次项系数对应根和为正9，不要写成−9；立方和公式中的3ab(a+b)不可遗漏。
若二次项系数不为1，应先除以首项系数；对ax²+bx+c=0，根和为−b/a、根积为c/a。
六、变式练习与明确答案
对x²−7x+10=0求根立方和：7³−3×10×7=133。
a²+b²=53，a³+b³=351，|a-b|=5。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“韦达定理”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇韦达定理练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
