同余题的核心不是“碰巧试出一个数”，而是把无穷多候选数压缩成一个整齐的解族。先满足模8条件，再把候选写成8k+5，才有理由研究模11。
本文围绕同余与余数提供一道原创教学练习及可复查的解题路径，不是BMO英国数学奥林匹克官方真题。阅读时先尝试独立完成题目，再对照关键步骤。
一、题目与解题目标
寻找满足x除以8余5、除以11余2的最小正整数x，并证明解的周期。
二、关键推导：为什么能得到这个答案
设x=8k+5，代入模11条件得8k+5≡2，即8k≡8(mod11)，因8与11互质，k≡1(mod11)。所以x=8(1+11t)+5=13+88t；最小正整数为13，全部整数解相隔88。
三、用第二种角度核验
核对13÷8余5、13÷11余2；因为模数8与11互质，解在任意连续88个整数中恰有一个。
四、深入一层：从本题抽出通用方法
补充思考：如果把第二个条件改为“除以11余3”，那么8k≡9 (mod 11)，因为8的逆元是7，k≡8 (mod 11)，因此最小正数是69。这体现模逆元比逐个枚举更稳定。
五、容易出错的条件与边界
仅凭试出13不能证明没有更小正解；若模数不互质，还需先验证余数条件相容。
为什么要证明周期为88？因为8和11互质，其最小公倍数为88；两个同余条件同时成立的整数之间必相差88的整数倍。
六、变式练习与明确答案
若要找100至300间全部解，取t=1、2、3，得到101、189、277。
最小正解是13；全部解为13+88t（t为整数）。在100—300间，恰好是101、189、277三个。
七、学习时如何使用这道例题
建议先遮住解答独立列出题设中的限制，再根据“同余与余数”方法建立等式、分类或图示。复查时重点核对本题的决定性步骤，而不是只看最后的数字。
这篇同余与余数练习不能替代BMO英国数学奥林匹克官方公布的竞赛范围，也不提供任何报名日期或奖项预测。文中的数字与变式均为原创教学演示，具体材料应以本题的约束和推导为依据。
