做BMO证明题时，学生有时能算出许多正确例子，却不知道怎样把“看起来总是这样”写成对所有允许情况都成立的论证。例子可以帮助猜想，但不能自动覆盖没有检查的整数。
证明训练可以从一个很短的命题开始，练习明确条件、拆出必经步骤、说明每一步依据。下面采用自编基础练习，不代表BMO试题难度或评分细则，重点是把一条完整的逻辑链写出来。
一、先确定你要证明的是哪一种说法
“存在一个整数满足条件”和“每个整数都满足条件”是不同任务。前者找到合适例子并验证即可，后者需要能够覆盖全部允许对象的方法。读题时先看清量词，再决定举例能解决多少问题。
还要区分必要条件与充分条件。如果从结论出发发现一个条件，不代表已经从题设推出结论。逆向分析有助于寻找路线，最终写作仍应检查推导方向。
| 看到的表述 | 证明需要完成什么 | 常见缺口 |
|---|---|---|
| 存在一个例子 | 构造对象并核对全部条件 | 只给对象不验证 |
| 对所有正整数成立 | 给出覆盖全部情况的推导 | 列举几个数后直接下结论 |
| 两个条件等价 | 分别说明两个方向 | 只完成其中一个方向 |
| 不存在某种对象 | 排除所有可能情况 | 只排除最常见情形 |
二、一道整除练习：三个连续整数为什么够用？
自编练习：证明对任意正整数n，n的三次方减n都能被6整除。先因式分解，得到n³－n＝（n－1）n（n＋1）。这三个因子是连续整数。
连续三个整数中至少有一个是偶数，因此乘积能被2整除；同时，连续三个整数除以3的余数覆盖0、1、2，因此其中必有一个能被3整除。
由于2与3互质，乘积同时被2和3整除，便能被6整除。n＝1时乘积为0，同样满足整除结论。这里每一个判断都能覆盖任意正整数，而不是只依赖n＝2、3、4的数值检查。
三、“同时整除”为什么有时不能直接相乘？
上面的最后一步用了2与3互质这个条件。若把它换成“一个数同时被4和6整除，所以被24整除”，就不成立：12同时被4、6整除，却不能被24整除。
一般讨论时，应考虑最小公倍数，而不是不加条件地把两个除数相乘。这个反例能帮助检查解答中被省略的前提，避免把一次成立的推导习惯推广到所有数。
再改变原命题：三个连续整数的乘积一定被9整除吗？n＝2时乘积为6，就得到反例。它说明“至少有一个3的因子”不等于“至少有两个3的因子”。
| 证明中的一句话 | 应补充的依据 | 怎样检查 |
|---|---|---|
| 因式分解后转为连续整数 | 三个因子分别为n－1、n、n＋1 | 重新展开核对 |
| 至少有一个偶数 | 连续整数的奇偶交替 | 检查没有遗漏边界 |
| 至少一个为3的倍数 | 连续三数的模3余数 | 用分类说明覆盖全部情况 |
| 所以能被6整除 | 2与3互质 | 用4、6的反例辨别条件 |
| 例子不能证明一般结论 | 有限枚举未覆盖所有整数 | 区分猜想与证明 |
四、修改证明时，优先补连接词背后的理由
把解答中的“显然”“所以”“同理”圈出来，逐个问：读者能否只根据前文推出这一步？若必须猜测你用了哪个定理或哪项条件，就应补一句依据，而不是增加更多数值例子。
但完整也不等于每个四则运算都写一段。应把篇幅放在分情况是否穷尽、构造是否满足条件、推导能否反向这些决定结论的地方。
练习结束后，尝试删去一条关键条件，看结论还是否成立，并寻找最小反例。这样既能检验证明是否过度依赖某个隐含假设，也能帮助你理解命题为什么恰好这样表述。正式答题形式仍按对应轮次的说明执行。
