BMO基本不等式：2x+y=18时，xy为何最大为40.5？

BMO英国数学奥林匹克备赛中，围绕「基本不等式」的学习不应停在概念记忆。下面使用自编教学情境，依次说明需要识别的条件、得出结论的依据、可独立复核的环节和易错边界；它不是官方真题，也不代表当届考务安排。

奥数训练应同时写出答案和理由：为何不存在遗漏、哪些条件不能删除、怎样核验边界。

01｜自编练习：把题意与边界看清

正数x、y满足2x+y=18，求xy最大值与取等点。

解题前请先标注这一题的主题是「基本不等式」，把对象、数量、假设和要回答的目标各写成一句话。下文所用数值与背景均为教学演示，不是BMO英国数学奥林匹克的官方试题或成绩、考务数据。

02｜完整推导：先有依据，再有结果

由(2x+y)²≥4(2x)y=8xy，得xy≤18²/8=40.5。等号要求2x=y，与约束联立得2x+2x=18，x=4.5、y=9，乘积为40.5。

03｜独立验算：为什么这一步成立

换元y=18−2x，则xy=18x−2x²=40.5−2(x−4.5)²，证明同一最大值并定位顶点。

核对不只检验一个例子，还要解释推导覆盖了哪些可能性，并写清等号与边界情况。

04｜常见误区：哪些条件不能省

权重不相等时不能机械使用x=y；证明上界之后仍须核验取等条件可实现。

05｜改动条件后的变式练习

若约束变为3x+y=24，最大xy=24²/(4×3)=48，在x=4、y=12取到。

06｜四步复盘与训练清单

复盘环节	必须做的事
第1次：读题	从题设中提取整数、正负、区间与互异等限制；对应本篇主题「基本不等式」。
第2次：重做	独立重做本篇例题，写明每一步所用条件。
第3次：核对	用上文的独立验算核对单位、结果和边界，不以答案相同代替推导。
第4次：迁移	练一道改动条件的变式并解释为何原结论改变；完成上文给出的变式。

复盘记录建议包含：题目中最重要的限定条件、所采用的公式或证据、一个可独立核对的结果，以及本次是否发生了「基本不等式」相关的概念混淆。真正的训练目标是下一次遇到相近但不完全相同的题目时，仍能说明每一步为什么成立。

07｜适用范围和相关信息核对

本篇只讨论「基本不等式」的自编学习案例；并不声称其难度、题型或知识点覆盖了BMO英国数学奥林匹克全部考试范围。涉及2027年报名资格、时间、可用器材、考试安排或奖项标准时，务必以当届官方公布文件为准。